Cube parfait et facteurs premiers - Corrigé

Énoncé

Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(8\) , et dont la décomposition en produit de facteurs premiers est  \(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}\) .

Démontrer que \(n\) est un cube parfait si, et seulement si, tous les exposants \(\alpha_i\) sont des multiples de \(3\) .

Solution

On procède par double implication.

\([\Rightarrow]\)  Supposons que \(n\) est un cube parfait, c'est-à-dire qu'il existe un entier \(m \in \mathbb{N}\) tel que \(n=m^3\) .
On considère la décomposition de \(m\) en produit de facteurs premiers :  \(m=q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}...q_r^{\beta_r}\) .
On a alors :  \(n=m^3=q_1^{3\beta_1}q_2^{3\beta_2}...q_r^{3\beta_r}\) .
Par unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers de \(n\) , on en déduit que \(r=k\) et que les facteurs \(p_i\) sont égaux aux facteurs \(q_j\) . Quitte à réordonner les facteurs \(q_j\) , on peut supposer que, pour tout  \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) , \(p_i=q_i\) .
On en déduit alors que \(\alpha_i=3\beta_i\) pour tout \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) , donc les exposants \(\alpha_i\) sont des multiples de \(3\) .

\([\Leftarrow]\)  Réciproquement, supposons que les exposants \(\alpha_i\) sont des multiples de \(3\) .
Pour tout \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) , il existe donc un entier \(\beta_i \in \mathbb{N}\) tel que \(\alpha_i=3\beta_i\) . On a alors
\(\begin{align*}n& = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}\\ & = p_1^{3\beta_1}p_2^{3\beta_2}...p_k^{3\beta_k}\\ & =(p_1^{\beta_1})^3(p_2^{\beta_2})^3...(p_k^{\beta_k})^3\\ & =(p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}...p_k^{\beta_k})^3\\ & =m^3\end{align*}\)  
avec \(m=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}...p_k^{\beta_k} \in \mathbb{N}\) .
Ainsi, \(n=m^3\) est un cube parfait.